求数列的通项公式专题

一，遇见经典：

1.己知数列的首项，且满足，求数列的通项公式。

2.已知数列，且，求数列的通项公式。

注：求解数列的通项公式，不需要聪明的解题技巧，直接用最笨的方法，把数列的前几项写出来，发现其中规律，硬凑出数列的通项公式。

写出数列的前几项，一般写出前4项，不仅能发现其中规律，而且还能用来检验最后所求的通项公式是否正确，所以，求数列的通项公式的第一步，就是写出数列的前4项来。

通过猜想得到的数列的通项公式都可以通过数学归纳法来证明。

第1题的数列的通项公式的猜想：

已知数列的首项，且满足，求数列的通项公式。

解：由题意，，，

解得。

同理，。

对比前4项，容易发现，它们的分子为3的指数幂，分母比分子大2。

猜想，。

用数学归纳法证明此通项公式。证明略。

所以，数列的通项公式。

第2题的数列的通项公式的猜想：

2.已知数列，且，求数列的通项公式。

解：，，

解得，

同理，。

对比前4项，可以发现，都为分数形式，分母比分子大1，分母2，5，14，41似乎与3有某种关系，存在某种规律。

把分子分母同乘以2，得到

，，，。

现在规律更明显了，

分子、分母分别为3的正整数幂减1、加1。

猜想，。

再用数学归纳法证明此通项公式。证明略。

所以，数列的通项公式。

二、构造等比数列求通项公式

若数列的首项，且满足，求数列的通项公式及前10项的和。

解：由题意，，，

解得。

同理，，，

容易猜想，，

，

将化成，

，

比较①②的系数，可得

解得，，

即。

又，是以2为首项，公比为2的等比数列。

则，

所以。故

所以，数列的前10项和为2036。

总结：

遇数列，，

构造等比数列，为首项，r为公比，

。

比较①②，得，解得r，k，

得到等比数列的通项公式，从而求得数列的通项公式。

三，总结，吸取营养。

已知数列的首项，且满足。

⑴求证：数列为等比数列。

⑵若，求满足条件的最大整数n。

证明：⑴由，等式两边取倒数，

得，

即，

符合上文(二)的总结，构造等比数列。

构造，

解得，，

即。

又，，

数列是首项为，公比为的等比数列，故

。

解：⑵因为，所以

由，即，单调递增，

即满足条件的最大整数n为99。

总结：

数列，等式两边取倒数，

得

构造等比数列，为首项为公比，

，

比较①②式，得，

解得r，k，得到等比数列的通项公式，从而求得数列的通项公式。

四、利用（三）的总结，求数列的通项公式

已知数列，且，求数列的通项公式。

解：利用(三)的总结，构造形如，

对比本题，

可以构造，

①式、②式等价。

，

等比数列的首项为，公比为，

整理得，

所以，数列的通项公式为。